序列模型

想象一下有人正在看网飞（Netflix，一个国外的视频网站）上的电影。
一名忠实的用户会对每一部电影都给出评价，
毕竟一部好电影需要更多的支持和认可。
然而事实证明，事情并不那么简单。
随着时间的推移，人们对电影的看法会发生很大的变化。
事实上，心理学家甚至对这些现象起了名字：

• 锚定（anchoring）效应：基于其他人的意见做出评价。
  例如，奥斯卡颁奖后，受到关注的电影的评分会上升，尽管它还是原来那部电影。
  这种影响将持续几个月，直到人们忘记了这部电影曾经获得的奖项。
  结果表明（ ），这种效应会使评分提高半个百分点以上。
• 享乐适应（hedonic adaption）：人们迅速接受并且适应一种更好或者更坏的情况
  作为新的常态。
  例如，在看了很多好电影之后，人们会强烈期望下部电影会更好。
  因此，在许多精彩的电影被看过之后，即使是一部普通的也可能被认为是糟糕的。
• 季节性（seasonality）：少有观众喜欢在八月看圣诞老人的电影。
• 有时，电影会由于导演或演员在制作中的不当行为变得不受欢迎。
• 有些电影因为其极度糟糕只能成为小众电影。Plan9from Outer Space和Troll2就因为这个原因而臭名昭著的。

简而言之，电影评分决不是固定不变的。
因此，使用时间动力学可以得到更准确的电影推荐 。
当然，序列数据不仅仅是关于电影评分的。
下面给出了更多的场景。

• 在使用程序时，许多用户都有很强的特定习惯。
  例如，在学生放学后社交媒体应用更受欢迎。在市场开放时股市交易软件更常用。
• 预测明天的股价要比过去的股价更困难，尽管两者都只是估计一个数字。
  毕竟，先见之明比事后诸葛亮难得多。
  在统计学中，前者（对超出已知观测范围进行预测）称为外推法（extrapolation），
  而后者（在现有观测值之间进行估计）称为内插法（interpolation）。
• 在本质上，音乐、语音、文本和视频都是连续的。
  如果它们的序列被我们重排，那么就会失去原有的意义。
  比如，一个文本标题“狗咬人”远没有“人咬狗”那么令人惊讶，尽管组成两句话的字完全相同。
• 地震具有很强的相关性，即大地震发生后，很可能会有几次小余震，
  这些余震的强度比非大地震后的余震要大得多。
  事实上，地震是时空相关的，即余震通常发生在很短的时间跨度和很近的距离内。
• 人类之间的互动也是连续的，这可以从微博上的争吵和辩论中看出。

统计工具

处理序列数据需要统计工具和新的深度神经网络架构。
为了简单起见，我们以 fig_ftse100所示的股票价格（富时100指数）为例。

（图：近30年的富时100指数）

其中，用$x_t$表示价格，即在时间步（time step）
$t \in \mathbb{Z}^+$时，观察到的价格$x_t$。
请注意，$t$对于本文中的序列通常是离散的，并在整数或其子集上变化。
假设一个交易员想在$t$日的股市中表现良好，于是通过以下途径预测$x_t$：

$$x_t \sim P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1).$$

自回归模型

为了实现这个预测，交易员可以使用回归模型，
例如在 sec_linear_concise中训练的模型。
仅有一个主要问题：输入数据的数量，
输入$x_{t-1}, \ldots, x_1$本身因$t$而异。
也就是说，输入数据的数量这个数字将会随着我们遇到的数据量的增加而增加，
因此需要一个近似方法来使这个计算变得容易处理。
本章后面的大部分内容将围绕着如何有效估计
$P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1)$展开。
简单地说，它归结为以下两种策略。

第一种策略，假设在现实情况下相当长的序列
$x_{t-1}, \ldots, x_1$可能是不必要的，
因此我们只需要满足某个长度为$\tau$的时间跨度，
即使用观测序列$x_{t-1}, \ldots, x_{t-\tau}$。
当下获得的最直接的好处就是参数的数量总是不变的，
至少在$t > \tau$时如此，这就使我们能够训练一个上面提及的深度网络。
这种模型被称为自回归模型（autoregressive models），
因为它们是对自己执行回归。

第二种策略，如 fig_sequence-model所示，
是保留一些对过去观测的总结$h_t$，
并且同时更新预测$\hat{x}t$和总结$h_t$。
这就产生了基于$\hat{x}_t = P(x_t \mid h_{t})$估计$x_t$，
以及公式$h_t = g(h{t-1}, x_{t-1})$更新的模型。
由于$h_t$从未被观测到，这类模型也被称为
隐变量自回归模型（latent autoregressive models）。

（图：隐变量自回归模型）

这两种情况都有一个显而易见的问题：如何生成训练数据？
一个经典方法是使用历史观测来预测下一个未来观测。
显然，我们并不指望时间会停滞不前。
然而，一个常见的假设是虽然特定值$x_t$可能会改变，
但是序列本身的动力学不会改变。
这样的假设是合理的，因为新的动力学一定受新的数据影响，
而我们不可能用目前所掌握的数据来预测新的动力学。
统计学家称不变的动力学为静止的（stationary）。
因此，整个序列的估计值都将通过以下的方式获得：

$$P(x_1, \ldots, x_T) = \prod_{t=1}^T P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1).$$

注意，如果我们处理的是离散的对象（如单词），
而不是连续的数字，则上述的考虑仍然有效。
唯一的差别是，对于离散的对象，
我们需要使用分类器而不是回归模型来估计$P(x_t \mid x_{t-1}, \ldots, x_1)$。

马尔可夫模型

回想一下，在自回归模型的近似法中，
我们使用$x_{t-1}, \ldots, x_{t-\tau}$
而不是$x_{t-1}, \ldots, x_1$来估计$x_t$。
只要这种是近似精确的，我们就说序列满足马尔可夫条件（Markov condition）。
特别是，如果$\tau = 1$，得到一个
一阶马尔可夫模型（first-order Markov model），
$P(x)$由下式给出：

$$P(x_1, \ldots, x_T) = \prod_{t=1}^T P(x_t \mid x_{t-1}) \text{ 当 } P(x_1 \mid x_0) = P(x_1).$$

当假设$x_t$仅是离散值时，这样的模型特别棒，
因为在这种情况下，使用动态规划可以沿着马尔可夫链精确地计算结果。
例如，我们可以高效地计算$P(x_{t+1} \mid x_{t-1})$：

$$
\begin{aligned}
P(x_{t+1} \mid x_{t-1})
&= \frac{\sum_{x_t} P(x_{t+1}, x_t, x_{t-1})}{P(x_{t-1})}\
&= \frac{\sum_{x_t} P(x_{t+1} \mid x_t, x_{t-1}) P(x_t, x_{t-1})}{P(x_{t-1})}\
&= \sum_{x_t} P(x_{t+1} \mid x_t) P(x_t \mid x_{t-1})
\end{aligned}
$$

利用这一事实，我们只需要考虑过去观察中的一个非常短的历史：
$P(x_{t+1} \mid x_t, x_{t-1}) = P(x_{t+1} \mid x_t)$。
隐马尔可夫模型中的动态规划超出了本节的范围
（我们将在 sec_bi_rnn再次遇到），
而动态规划这些计算工具已经在控制算法和强化学习算法广泛使用。

因果关系

原则上，将$P(x_1, \ldots, x_T)$倒序展开也没什么问题。
毕竟，基于条件概率公式，我们总是可以写出：

$$P(x_1, \ldots, x_T) = \prod_{t=T}^1 P(x_t \mid x_{t+1}, \ldots, x_T).$$

事实上，如果基于一个马尔可夫模型，
我们还可以得到一个反向的条件概率分布。
然而，在许多情况下，数据存在一个自然的方向，即在时间上是前进的。
很明显，未来的事件不能影响过去。
因此，如果我们改变$x_t$，可能会影响未来发生的事情$x_{t+1}$，但不能反过来。
也就是说，如果我们改变$x_t$，基于过去事件得到的分布不会改变。
因此，解释$P(x_{t+1} \mid x_t)$应该比解释$P(x_t \mid x_{t+1})$更容易。
例如，在某些情况下，对于某些可加性噪声$\epsilon$，
显然我们可以找到$x_{t+1} = f(x_t) + \epsilon$，
而反之则不行 。
而这个向前推进的方向恰好也是我们通常感兴趣的方向。
彼得斯等人
对该主题的更多内容做了详尽的解释，而我们的上述讨论只是其中的冰山一角。

训练

在了解了上述统计工具后，让我们在实践中尝试一下！
首先，我们生成一些数据：使用正弦函数和一些可加性噪声来生成序列数据，
时间步为$1, 2, \ldots, 1000$。

%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import torch
from torch import nn

T = 1000  # 总共产生1000个点
time = d2l.arange(1, T + 1, dtype=d2l.float32)
x = d2l.sin(0.01 * time) + d2l.normal(0, 0.2, (T,))
d2l.plot(time, [x], 'time', 'x', xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

接下来，我们将这个序列转换为模型的特征－标签（feature-label）对。
基于嵌入维度$\tau$，我们将数据映射为数据对$y_t = x_t$
和$\mathbf{x}t = [x{t-\tau}, \ldots, x_{t-1}]$。
这比我们提供的数据样本少了$\tau$个，
因为我们没有足够的历史记录来描述前$\tau$个数据样本。
一个简单的解决办法是：如果拥有足够长的序列就丢弃这几项；
另一个方法是用零填充序列。
在这里，我们仅使用前600个“特征－标签”对进行训练。

tau = 4
features = d2l.zeros((T - tau, tau))
for i in range(tau):
    features[:, i] = x[i: T - tau + i]
labels = d2l.reshape(x[tau:], (-1, 1))

batch_size, n_train = 16, 600
# 只有前n_train个样本用于训练
train_iter = d2l.load_array((features[:n_train], labels[:n_train]),
                            batch_size, is_train=True)

在这里，我们使用一个相当简单的架构训练模型：
一个拥有两个全连接层的多层感知机，ReLU激活函数和平方损失。

# 初始化网络权重的函数
def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.xavier_uniform_(m.weight)

# 一个简单的多层感知机
def get_net():
    net = nn.Sequential(nn.Linear(4, 10),
                        nn.ReLU(),
                        nn.Linear(10, 1))
    net.apply(init_weights)
    return net

# 平方损失。注意：MSELoss计算平方误差时不带系数1/2
loss = nn.MSELoss(reduction='none')

现在，准备训练模型了。实现下面的训练代码的方式与前面几节（如 sec_linear_concise）中的循环训练基本相同。因此，我们不会深入探讨太多细节。

def train(net, train_iter, loss, epochs, lr):
    trainer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr)
    for epoch in range(epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.sum().backward()
            trainer.step()
        print(f'epoch {epoch + 1}, '
              f'loss: {d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss):f}')

net = get_net()
train(net, train_iter, loss, 5, 0.01)

预测

由于训练损失很小，因此我们期望模型能有很好的工作效果。
让我们看看这在实践中意味着什么。
首先是检查模型预测下一个时间步的能力，
也就是单步预测（one-step-ahead prediction）。

onestep_preds = net(features)
d2l.plot([time, time[tau:]],
         [d2l.numpy(x), d2l.numpy(onestep_preds)], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds'], xlim=[1, 1000],
         figsize=(6, 3))

正如我们所料，单步预测效果不错。
即使这些预测的时间步超过了$600+4$（n_train + tau），
其结果看起来仍然是可信的。
然而有一个小问题：如果数据观察序列的时间步只到$604$，
我们需要一步一步地向前迈进：
$$
\hat{x}{605} = f(x{601}, x_{602}, x_{603}, x_{604}), \
\hat{x}{606} = f(x{602}, x_{603}, x_{604}, \hat{x}{605}), \
\hat{x}{607} = f(x_{603}, x_{604}, \hat{x}{605}, \hat{x}{606}),\
\hat{x}{608} = f(x{604}, \hat{x}{605}, \hat{x}{606}, \hat{x}{607}),\
\hat{x}{609} = f(\hat{x}{605}, \hat{x}{606}, \hat{x}{607}, \hat{x}{608}),\
\ldots
$$

通常，对于直到$x_t$的观测序列，其在时间步$t+k$处的预测输出$\hat{x}{t+k}$
称为$k$步预测（$k$-step-ahead-prediction）。
由于我们的观察已经到了$x{604}$，它的$k$步预测是$\hat{x}_{604+k}$。
换句话说，我们必须使用我们自己的预测（而不是原始数据）来进行多步预测。
让我们看看效果如何。

d2l.plot([time, time[tau:], time[n_train + tau:]],
         [d2l.numpy(x), d2l.numpy(onestep_preds),
          d2l.numpy(multistep_preds[n_train + tau:])], 'time',
         'x', legend=['data', '1-step preds', 'multistep preds'],
         xlim=[1, 1000], figsize=(6, 3))

如上面的例子所示，绿线的预测显然并不理想。
经过几个预测步骤之后，预测的结果很快就会衰减到一个常数。
为什么这个算法效果这么差呢？事实是由于错误的累积：
假设在步骤$1$之后，我们积累了一些错误$\epsilon_1 = \bar\epsilon$。
于是，步骤$2$的输入被扰动了$\epsilon_1$，
结果积累的误差是依照次序的$\epsilon_2 = \bar\epsilon + c \epsilon_1$，
其中$c$为某个常数，后面的预测误差依此类推。
因此误差可能会相当快地偏离真实的观测结果。
例如，未来$24$小时的天气预报往往相当准确，
但超过这一点，精度就会迅速下降。
我们将在本章及后续章节中讨论如何改进这一点。

基于$k = 1, 4, 16, 64$，通过对整个序列预测的计算，
让我们更仔细地看一下$k$步预测的困难。

max_steps = 64

steps = (1, 4, 16, 64)
d2l.plot([time[tau + i - 1: T - max_steps + i] for i in steps],
         [d2l.numpy(features[:, tau + i - 1]) for i in steps], 'time', 'x',
         legend=[f'{i}-step preds' for i in steps], xlim=[5, 1000],
         figsize=(6, 3))

以上例子清楚地说明了当我们试图预测更远的未来时，预测的质量是如何变化的。
虽然“$4$步预测”看起来仍然不错，但超过这个跨度的任何预测几乎都是无用的。

小结

• 内插法（在现有观测值之间进行估计）和外推法（对超出已知观测范围进行预测）在实践的难度上差别很大。因此，对于所拥有的序列数据，在训练时始终要尊重其时间顺序，即最好不要基于未来的数据进行训练。
• 序列模型的估计需要专门的统计工具，两种较流行的选择是自回归模型和隐变量自回归模型。
• 对于时间是向前推进的因果模型，正向估计通常比反向估计更容易。
• 对于直到时间步$t$的观测序列，其在时间步$t+k$的预测输出是“$k$步预测”。随着我们对预测时间$k$值的增加，会造成误差的快速累积和预测质量的极速下降。