softmax回归的简洁实现

在 线性回归的简洁实现中，
我们发现通过深度学习框架的高级API能够使实现

线性回归变得更加容易。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
本节如在 softmax回归的从零开始实现中一样，
继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

from d2l import torch as d2l
import torch
from torch import nn

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

初始化模型参数

如我们在 softmax回归所述，
softmax回归的输出层是一个全连接层。
因此，为了实现我们的模型，
我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里Sequential并不是必要的，
但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(10))
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

重新审视Softmax的实现

在前面 softmax回归的从零开始实现的例子中，
我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax函数$\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$，
其中$\hat y_j$是预测的概率分布。
$o_j$是未规范化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。
如果$o_k$中的一些数值非常大，
那么$\exp(o_k)$可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。
这将使分母或分子变为inf（无穷大），
最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的$\hat y_j$。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max(o_k)$。
这里可以看到每个$o_k$按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

$$
\begin{aligned}
\hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \
& = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}.
\end{aligned}
$$

在减法和规范化步骤之后，可能有些$o_j - \max(o_k)$具有较大的负值。
由于精度受限，$\exp(o_j - \max(o_k))$将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使$\hat y_j$为零，
并且使得$\log(\hat y_j)$的值为-inf。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算$\exp(o_j - \max(o_k))$，
而可以直接使用$o_j - \max(o_k)$，因为$\log(\exp(\cdot))$被抵消了。

$$
\begin{aligned}
\log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \
& = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \
& = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}.
\end{aligned}
$$

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，
而是在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数，
这是一种类似“LogSumExp技巧”的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

优化算法

在这里，我们使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

训练

接下来我们调用 softmax回归的从零开始实现中
定义的训练函数来训练模型。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

小结

• 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
• 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。